פרקטל מנדלברוט – חלק ב'

 

 עזבנו את השיר על פרקטל מנדלברוט חלק א'  באמצעו, כדי שנעשה היכרות עם תורת הכאוס והפרקטלים, עם מימדים ויצורים דו-מימדיים, עם גיאומטריה אוקלידית ועם גיאומטריה לא-אוקלידית כדוגמת גיאומטרית נהגי המוניות וגיאומטריה כדורית .

ועכשיו חוזרים שוב למנגינה, כדי לפענח את מהות היצור שנחשב למורכב ביותר במתמטיקה:

אם כן, היכן חי אותו יצור (כלומר באיזו גיאומטריה הוא חי), ואיך הוא מתקבל?

זה די מסובך ואנסה להסביר ככל האפשר, וכמו בפוסט הקודם, אם יהיו שאלות אסביר ואתקן.

 

אנחנו מכירים את המספרים הטבעיים לדוגמא 1,2,3 ואחרים שלמים ושליליים כמו   3-,2-,1-  ומספרים כמו    3.1415926  שהוא פיי. כל המספרים האלה נמצאים על ציר המספרים, כלומר נמצאים על קו ישר. מכאן שאוסף המספרים, שהם הנקודות על הציר , יוצרים קו.

217276081

אבל ישנם מספרים איתם התעסק מנדלברוט שלא נמצאים על קו ישר אלא במישור. המספרים האלה נקראים: מספרים מרוכבים.

217275861

 

המישור הזה נקרא המישור המרוכב. כל מספר בו נקרא מספר מרוכב.

 

לכל מספר (המסומן ב- Z) ישנם שני רכיבים: האחד x, והשני y.  רכיב ה- x הוא מספר רגיל כפי שאנחנו מכירים מציר המספרים, ולכן רכיב ה- x נקרא הרכיב הממשי, החלק הממשי של המספר המרוכב z.

 

והחלק השני, נקרא החלק המדומה. ומדוע, מאחר שלפניו מופיע גודל מתמטי שמסומן באות i והוא בעצם המצאה מתמטית.

 

 

(עכשיו שבו על הכסא ותחזיקו טוב) כי הגודל של i הוא דבר שלא קיים במציאות והוא:

217277201

כלומר i שווה לשורש של 1- .  לא שגרתי ולא מקובל, איך אפשר להוציא שורש ממספר שלילי?  אבל זו המצאה מתמטית שיש לה שימושים גם בפיסיקה, כמו בגלים אלטרומגנטיים (כדוגמת האור) וגם כאן בפרקטלים.

אם כן, הפרקטל של מנדלברוט לא גר בגיאומטריה האוקלידית הרגילה אלא במישור המרוכב, שבו כל נקודה היא בעצם מספר מרוכב בעל שני רכיבים: אחד ממשי ואחד מדומה.

 

עכשיו נראה לפי השיר איך הפרקטל מתקבל, מהי הטכניקה לקבלתו.

 

התמונה הבאה מתארת את בנייתו של הפרקטל. הוא חי לו במישור המרוכב, כלומר ישנם שני צירים, אחד ממשי שהוא ציר ה-x ומסומן ב- Re (כלומר Real  שמשמעו ממשי), והשני מדומה שהוא ציר ה- y  ומסומן ב- Im  (כלומר Imaginary שמשמעו מדומה).

 

 

217278561

 

 

 

 התמונה הבאה מראה סימון נקודה C על פני המישור (כאמור הנקודה C היא בעלת מספר מרוכב):

 

217279921

 

 

ואח"כ מוסיפים עוד נקודה Z1.

 

משוואה אחת שהיא:   Z=Z1^2+C  נותנת לנו את הפרקטל המסובך הזה.

 

217280041

 

אח"כ הוספת עוד נקודה Z2.

 

השיטה לקבלת הפרקטל היא שערך של נקודה קודמת, משמש אותנו  לחשב את הערך של הנקודה הבאה.

 

וכאן הערך של Z1 משמש לחישוב הערך של הנקודה הבאה Z2 (השיטה קרויה איטרציה, כלומר חזרה על אותן פעולות שוב ושוב ).

 

217280221

 

 

 

ועכשיו חישוב Z3:

 

217280261

 

ולבסוף מתקבל הפרקטל:

217280281

 

בפוסט הבא אתחיל לתאר את הגיאומטריה שפיתחתי שאין בה מספרים מרוכבים, היא גם פרקטלית בתלות במשוואה, ואף ארבעה מימדית (גיאומטריה תלת- מימדית לא הספיקה לאיינשטיין לתיאור העולם).

 

הרבה יותר פשוט,  הבטחה שלי.

ולסיום הרצאתו של מנדלברוט בתרגום לעברית. הבן אדם פשוט היה גאון.

רק טעות קטנה שמופיעה שם. מנדלברוט מתכוון לברוקולי איטלקי ובשמו הלועזי: Romanesco broccoli ולא לכרובית.

את תמונת הירק ניתן לראות בויקיפדיה.

ופרקטלים נוספים ואמיתיים המצויים בטבע ניתן לראות בקישור הזה.

 

 

 

אודות David Gross

Inventor
פוסט זה פורסם בקטגוריה Uncategorized. אפשר להגיע ישירות לפוסט זה עם קישור ישיר.

16 תגובות על פרקטל מנדלברוט – חלק ב'

  1. דפנה הגיב:

    חוץ מאינסוף סוסוני ים לא הבנתי כלום. עד כאן הראש המוגבל שלי יכול לקלוט.
    כיוון שכל העסק מתחיל במשהו הזוי – i – אפשר לומר שאין דבר כזה.
    משום מה זה מתחיל להזכיר לי את הפוליטיקה שלנו. גם אנחנו מבססים את החיים שלנו על משהו שלא קיים. פלסטין.

    • Intsi הגיב:

      דווקא עושה רושם שהבנת את העיקר לפי הפוסט שפרסמת, וכנראה הפוליטיקה קשה יותר לפתרון מהמתמטיקה. 
      בהמשך נראה שאצלי לא צריך להשתמש במיספרים המרוכבים וזה באמת יתרון גדול.

      • דפנה הגיב:

        אני מבינה את העקרון אבל לא את הפקרטל ולא איך נוצרו הצורות הנפלאות האלה. אני מבינה את הכרובית אך לא את הקשר שלה למספרים מרוכבים.
        וברשותך אני גונבת ממך סרטון

      • אוגניה הגיב:

        דפנה? איזו הברקה – כרובית מרוכבית. לא אמרתי לך שהתקדמת מעל אלה שאת מלינה עליהם ושהם לט יודעים ולא יכולים להתמודד איתך? 

      • דפנה הגיב:

        זו לא הברקה שלי. זו הברקה של מנדלברוט בכבודו ובעצמו.
        וכל אלה שמתמודדים נגדי מוציאים לי את הנשמה. 
        רק אין לי מושג איך הוא הגיע מהכרובית לפרקטל הזה ומה הנוסחה של הפרקטל

      • אוגניה הגיב:

        לא תמיד צריך לצייר את הציור כדי להבין את גאונותו של הצייר … חושבת אנוכי.

      • Intsi הגיב:

        זו לא כרובית זה בכלל ברוקולי.  מנדלברוט טעה. מה שמנדלברוט מציג בסרטון זו תמונת ברוקולי ממשי – לא פרקטל, אוסיף על כך בפוסט.
        הנוסחה של פרקטל מנדלברוט מוצגת בשיר ובהסבר שלי והיא:
        Z=Z1^2+C

      • דפנה הגיב:

        טוב קראתי קצת בויקי. בכלל לא ידעתי מה זה פרקטל הבנתי שהכרובית או הברוקולי זה חלק מההגדרה שלו. מן צורה שחוזרת על עצמה בגדלים שונים. אפשר לתת עוד המון דוגמאות כאלה. בטבע בדכ זה לא הולך עד אינסוף. ראיתי גם שיש נוסחאות לברוקולי, לעלה.
        עוד לא ברור לי לגמרי איך זה מתחבר עם כאוס

  2. אוגניה הגיב:

    אסוציאציות לפוסט (- שכן מתמטיקאית אינני אבל הפוסט מרתק ):
    סוסון ים
    אין סוף
    סדר
    אמנות
    ראיה אמנותית של העולם באמצעות הסדר
    סדר מנצח אין סוף?
    אין סוף מנצח סדר?
    לעולם סדר ואינסוף יזנבו זה בזה

    • Intsi הגיב:

      כאוס הוא לא כל כך במובן של אי-סדר, מאחר שגם שם מוצאים עקביות מסוימת.
      יש סדר באי-סדר. מנדלברוט קרא ל"בלגן"  בעל המורכבות הזו, בשם חיספוס.
      הפירושים שנתת מעניינים. חומר למחשבה.

      • אוגניה הגיב:

        א. תודה. שהרי פילוסופיה ומתמטיקה די משיקות
        ב. תודה גם על ההסבר אז באמת המילה כאוס כבר לא תתאים, אבל למתמטיקאים יש לה מובן קצת שונה? חיספוס זו חלופה מעניינת. זה מזכיר לי את השיעור האחרון שלי בפילוסופיה של הרבמבם על השורשים י.ש.ב – קם – צור – והפירושים שלהם בקונטקסט כשמדברים על אלוהים במקרא
        ישב =  יציבות ( ודוד ישב שבעים שנה)
        קם =   עקביות ( ויקום עליו … )
        צור = … יוצר (צור ישראל)

      • Intsi הגיב:

        מעניין, תודה רבה.

  3. בני. הגיב:

    אני קורא פה כבר כמה פוסטים. אני מודה שאני מבין את המתמטיקה הבסיסית שאתה מסביר (מספרים מרוכבים, למשל, למדתי בתיכון), אבל אני לא מבין את הקונספט הכללי.
    כלומר, אני לא מבין מה המטרה, מה השיטות, ואיזו תועלת יש בשיטות ביחס למטרה. אתה אומר כל מיני דברים כמו "יצורים חיים" ואני לא בדיוק יודע למה זה משמש. לאנימציה? אולי.
    אולי זה אני שלא בסדר, כי אתה בטח הסברת את הכל בפוסטים הראשונים שלך. אבל אין לי זמן לקרוא את הפוסטים הראשונים ולהתעמק בהם בינתיים בשלב הזה. אולי אחרי שאסיים את המטלות שלי בעוד כמה ימים אכנס לפוסטים הראשונים ואתעמק בהם.
    אני מקווה שיש בפוסטים הראשונים הסבר יותר ראשוני לגבי כל מה שאתה עושה. כן?

    • Intsi הגיב:

      אתה צודק, חשבתי אתמול לרשום – אודות לבלוג, כדי שמי שלא התחיל מהתחלה יבין שבעצם שיש פה מסע מתמשך, מעין סיפור בהמשכים והכל קשור לתיאוריה ולטכנולוגיה שפיתחתי ושיוצגו כאן.

  4. לאה הגיב:

    זה באמת אחד הבלוגים המעניינים יותר שקיימים כאן. (:

להשאיר תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת גוגל

אתה מגיב באמצעות חשבון Google שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

מתחבר ל-%s