גיאומטריה פרקטלית

אני נוהג ללכת ברגל מדי יום, פעם זה היה בשדות המושב הדרומי, עובר את חממות הצמחים, עצי האפרסקים , התפוחים ועצי הרימון שלא נותנים ריחם, רק בשיר.

עכשיו זה 150 ק"מ משם, בכפר. קוטף איזה פרח מפרחי היסמין להריח את ריחו העדין, אוכל תותים אדומים בעונתם או פקאנים שנושרים מהעץ. לעיתים זה פקאן  שאיזה עורב שיחרר מגובה רב כדי שיתנפץ על הכביש או המדרכה, אז ירימו העורב במקורו וימשיך לעוף איתו אל צמרת העץ. ברחוב המרכזי בכפר אני מבחין בבית ישן יותר ולו גג רעפים. פועל עומד על הגג ומנסה לתקן את הגג הדולף. מתחתיו חברו אוחז בסולם. אני ממשיך ללכת וחושב..

מחשבות על מימדים ריצדו במוחי. מנדלברוט טוען שהמרחב הגיאומטרי שאנחנו חיים בו, מתואר על ידי גיאומטריה פרקטלית. שגיאומטריה אוקלידית כבר לא מספיקה. מנדלברוט הציע שאם נתבונן בתמונת לווין של קו החוף של בריטניה , נראה שיש לקו החוף אורך מסוים. נוכל למדוד את האורך בעזרת סרגל ולפי קנה המידה נקבל אורך מסוים. מה יקרה אם ניקח עכשיו מפה בקנה מידה גדול יותר, נוכל למדוד בדיוק רב יותר ולקבל שאורך החוף גדול מהמדידה הקודמת. ונניח שנעשה טיול לאורך חופי בריטניה ונמדוד את האורך בעזרת סרגל של מטר. שוב יהיה אורך גדול מבעבר. כלומר, אורך החוף תלוי בקנה המידה.

ומה עם המימד? אנחנו יודעים שמימד של קו הוא 1 , של מישור 2 , ושל מרחב 3. אז מנדלברוט טוען שקטע ישר הוא אכן בעל מימד 1 . אבל בין מימד 1 ל- 2 (2 מתאים  למישור), ישנם עוד שברי מימד. יכול להיות לדוגמא מימד 1.5 . פתית השלג של קוך מהפוסט הזה שעסקנו בו הוא בעל מימד 1.2618.

362px-kochflake-svg1

 

 ידוע גם כי מימד 2 הוא מישור. גם אצל מנדלברוט המישור הוא בעל מימד 2 (כלומר דו-מימדי).  אבל בגיאומטריה הפרקטלית של מנדלברוט, בין מימד 2 למימד 3 ישנם עכשיו גם מימדים שבורים, חלקי מימד.

דף נייר חלק מהווה מישור ולכן מימדו 2. אבל אם אקמט אותו ואהפוך אותו לכדור אזי המימד ישתנה. הוא כבר יהיה גוף שמימדו בין מישור למרחב, בין מימד 2 למימד 3. ליתר דיוק – מימדו של כדור הנייר הוא בממוצע 2.5 (ראה מאמר שנכתב בעזרתו של מנדלברוט).

מדוע בגיאומטריה הפרקטלית מימדו של כדור הנייר אינו 3, הרי הכדור תופס נפח והוא בעל שלשה צירים –  אורך, רוחב וגובה?

ובכן, לפי הגיאומטריה הפרקטלית  אם נתקרב ונהיה מספיק קטנים נוכל בעצם ללכת בתוך הכדור על גבי הנייר המקומט. אבל האם כאשר אנחנו הולכים בתוך הכדור אנחנו הולכים על גבי מישור בודד? התשובה היא שלא. אני יכול לעבור עכשיו מ- "מישורון" אחד לאחר. בעצם, אני לא נמצא בתוך כדור מוצק אלא בסביבה שחלקה מורכב מהנייר וחלקה אוויר.

 

מאמר יפה לחישוב מימד פרקטלי מצוי כאן.

אני ממשיך ללכת לאורך כבישי הכפר, לעיתים אני ממשיך לעבר השדות. מגדלים שם חסות ודלעות , אני מנסה עכשיו להזכר אם גם כרוביות, אני לא בטוח.

אבל גדלים שם גם מילונים. שדה גדול של נקודות צהובות הפזורות בו.

הגיאומטריה ממשיכה להעסיק אותי. אם הגיאומטריה האוקלידית אינה מספיקה, האם צריכה להיות זו גם גיאומטריה פרקטלית?

חוזר הביתה, מפעיל את המחשב ויוצר עוד כמה דוגמאות לפרקטלים בעזרת התוכנה שפיתחתי:

3

 

 ואחת נוספת:

 

4

 

אני מסתכל שוב על תמונת פרקטל שקיבלתי לפני 14 שנה (עברו על התמונה הזאת הרבה, גם טיפת מים שהכתימה בכחול):

 

217546701

 

 

 

זהו פרקטל שהתקבל ללא מספרים מרוכבים וללא מימדים שבורים. משוואה אחת שהוכנסה לאלגוריתם יצרה פרקטל שניתן להבחין בו גם באיזורים כאוטיים, גם באיזורים של התהוות היחידות הבודדות וגם אזורים של יחידות בודדות. כאשר הגדלתי יחידה בודדת אחת, התקבלה לתדהמתי תמונה זהה לתמונה הכללית. ממש התקבל פרקטל.

 

 

צריך לנסות לקבל שוב את הפונקציה, היא נמחקה ולא הצלחתי לשחזר אותה.

 

אולי מישהו יצליח בעתיד. מקווה.

 

 

 

אודות David Gross

Inventor
פוסט זה פורסם בקטגוריה Uncategorized. אפשר להגיע ישירות לפוסט זה עם קישור ישיר.

28 תגובות על גיאומטריה פרקטלית

  1. התמונות מקסימות, למי אכפת מפרקטלים וממשוואות?

    • Intsi הגיב:

      תודה רבה.
      מבטיח שבהמשך יהיה פשוט יותר, ללא מספרים מרוכבים ומימדים שבורים, ויותר סיפורי. זה היה נחוץ בכדי להראות את הפשטות של השיטה שתתואר בהמשך.  מצטער. 

  2. בני. הגיב:

    מוזר. בחיים שלי לא חשבתי על מימדים שבורים.
    זה רעיון שרק עכשיו שמעתי עליו, והוא משאיר אותי מאד מהורהר.

    אתה יודע? אני עם הזמן, ככל שאני קורא אצלך, עושה יותר ויותר אנאלוגיה בין הגיאומטריה האוקלידית לבין חוקי ניוטון. כי חוקי ניוטון, ואת זה למדנו בשנה הראשונה, התגלו על ידי איינשטיין (בעצמים גדולים במיוחד) ותורת הקוונטים (בעצמים קטנים במיוחד) כלא תופסים. ועדיין ממשיכים ללמד מכינקה רגילה של ניוטון כי זה הרבה יותר קל לתפיסה. יש בזה תום שלתלמיד הרבה יותר קל להימשך אליו. זה גם הרבה יותר מופשט.
    ואולי ככה גם הגיאומטריה האוקלידית. היא לא מספיק נכונה בשביל מקרים קיצוניים כמו שאתה מתאר, אבל היא מספיק נכונה בשביל מקרים יומיומיים נורמטיביים, ולתלמיד הרבה יותר קל להימשך אליה בנפשו כי יש בה תום ויופי שהם פשטניים.
    השאלה אם יש קשר, לפי דעתך, בין גיאומטריות יותר מורכבות ופחות פשטניות לתורת הקוונטים או תורת היחסות, או דברים מהסוג הזה. כי את האנאלוגיה אני רואה, אבל אולי גם יש קשר יותר מוחשי בין הדברים.
    נניח, כל הנושא של תורת הגלים שבו אי אפשר להגדיר מקום אחד להיות הגל. אולי בגיאומטריות יותר מסובכות אפשר להתייחס לזה אחרת…

    • Intsi הגיב:

      תגובה מצוינת.
      המסקנה שלך, שצריך גיאומטריה שונה מאוקלידית עבור תורת היחסות של איינשטיין היא פשוט התיאור האמיתי של מה שקרה במציאות. מינקובסקי אכן פיתח גיאומטריה לא-אוקלידית במיוחד בשביל התיאוריה של איינשטיין (תיאוריה ארבעה מימדית שבה הזמן הוא המימד הרביעי).  כל הכבוד לך.
      העניין הזה יתואר בהמשך בקשר מרחב-זמן, יהיה לזה פוסט.

      חוקי ניוטון הם מקרה פרטי של תורת היחסות. תורת היחסות עוסקת במהירויות גבוהות מאוד אזי יש שם השתנות של מימדי האורך והזמן וגם המסה, אבל במהירויות נמוכות היא מקבילה לחוקי ניוטון.
      מצד שני, חוקי ניטון כן פועלים במרחקים קטנים. אטום המימן יכול להיות מתואר גם באמצעות חוקי ניטון וגם לפי תורת הקוונטים. עקרונית, תורת הקוונטים נותנת פתרון רק לאטום המימן ולהליום (וגם זה בקירוב).

      בחלק האחרון של תגובתך, למציאת גיאומטריה שתתאים למרחקים הקטנים ולחלקיקים זה בדיוק מה שמנסים לעשות, לדגמא תורת המיתרים, שם חלקיק הוא לא נקודה בעל מימד 0  אלא צורה בעלת מימד 1 הקרוי "מיתר".
      נעסוק גם בזה בהמשך ובדרך פשוטה.

      נהדר.

  3. אריק הגיב:

    רגע…אז איך המימד הרביעי, הזמן, עובד בתורת היחסות?
    (בהקשר לתגובה הקודמת, לא רציתי להתערב בשיחה שלכם…)

    • Intsi הגיב:

      ברוך הבא.
      בתורת היחסות ישנם שלשה מימדי אורך ונוסף מימד אחד של זמן. אבל זה לא מימד רגיל כמו של אורך, כי במימד אורך אתה יכול לנוע קדימה ואחורה, ובמימד הזמן תנוע רק קדימה.
      בנוסף, מימד הזמן הוא מימד מרוכב (תחזור כמה פוסטים אחורה ותוכל לקרוא על מספרים מרוכבים). אחד הפוסטים בהמשך יסביר כיצד הזמן מתבטא בתיאוריה שלי לעומת זה שבמרחב שפיתח מינקובסקי (המורה של איינשטיין) ושימש את איינשטיין בתורת היחסות.

  4. ללא שם הגיב:

    עשית לי כאב ראש עם הפוסט הזה. איך אתה חי ככה?

    • Intsi הגיב:

      החלפתי את פרקטל קוך בתמונה סטטית – מקווה שזה עוזר.
      בכל אופן, כשרצים הרגליים כואבות, כשחושבים הראש כואב, אין מה לעשות.
      איך אני חי ככה? – בקושי   .

  5. sleepy הגיב:

    אני חייבת לציין שזה הזוי בעיניי שמימדים אינם נספרים במספרים שלמים. אני לא מסוגלת לתפוס את זה, זה כמו שאני אומר שיש לי 2 וחצי ידיים. מה היישומים של זה?

    • Intsi הגיב:

      את צודקת. גם לי לא נראים מימדים שבורים. 
      פרקטלים הם חלק מהטבע, אבל הקישור שלהם למימדים שבורים גם לי לא נראה ולכן צירפתי את הפרקטלים שהכנתי, ששם אין מספרים מרוכבים ומימדים שבורים.

  6. ווי איזה מגניב..תמונות מדהימות 😀

  7. אוגניה הגיב:

    האוואטר שלך הוא מתוך התוכנה שפיתחת?

  8. נוסעת הגיב:

    אוי, תודה שהחזרת אותי אליך..
    קריאה כאן היא מקור בלתי אכזב לחשיבה. אני מסתבכת, ומתישהו נאטמת, אבל הדמיון מתחיל לפעול. ונהנית כמו במדע בדיוני. כי בשבילי מה שאינני מבינה הוא מדע בדיוני… והתמונות מרהיבות. פשוט מרהיבות.
    אנסה לעניין את מי מתלמידי או בני (הבוגרים) במה שאתה מתאר כאן. מדהים!!

  9. דפנה הגיב:

    למה מחקת את הפוסט עם המגן דוד?

    • Intsi הגיב:

      תודה על שאלתך.
      הגילוי הזה אמור להתפרסם ולכן הורדתי את הפוסט. בינתיים קבלתי אישור לאתר אורט, אבל אני מעונין בפרסום נוסף. 
      יתכן והוסיף אותו כך שיהיה שקוף מבחינת הספיידרים של מנועי החיפוש, וכל תגובה עם השם פ_ר_ק_ט_ל   מ_ג_ן  ד_ו_ד  תוסר.
      כל העניין הזה של הסודיות טרם הפרסום, היתה המלצה שקיבלתי ממדען בארה"ב.
      גיליתי שמה שקיבלתי הוא בעצם תבנית של משולש שרפינסקי מלא, אבל הייחודיות היא בעצם הגילוי המתקבל ממשוואה שאמורה לתת מעגלים ולא משולשים.

  10. לא התחום שלי, אבל נהניתי לקרוא מה שכתבת בין לבין.
    עשה מן סרט נע בראש.

    שיהיה בהצלחה.

להשאיר תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת גוגל

אתה מגיב באמצעות חשבון Google שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

מתחבר ל-%s