מה הקשר בין משולש פסקל, משולש שרפינסקי ומגן דוד?

סגרתי את ספרו של ד"ר חיים שפירא 'האינסוף' ומיהרתי לצאת מחנות הספרים שבקניון. הספר נשאר על המדף, אבל המידע המעניין שכן במוחי והיה בדרכו הביתה.

Henry Gould  שיננתי לעצמי, Henry Gould …..

אני צועד בדרך חזרה הביתה לאורך הרחובות שהעלטה ירדה עליהם בזמן הדפדוף בין הספרים שבחנות. הגעתי הביתה וניגשתי ישר לאינטרנט. חיפשתי חומר על הפרופסור שגילה את הקשר בין מגן דוד למשולש פסקל.

פרופ' גולד מצא שמגן דוד מסתתר לו בין המספרים של משולש פסקל. איזו תגלית מעניינת. כל שישיית מספרים הערוכים בסדר של מגן דוד וביחס מסוים לצירי המשולש (בעצם לצלעותיו) יוצרים קשר מתמטי מעניין.

ככה זה נראה:

 

 

221539981

 

 הפרופ' היהודי הנרי גולד שהוא כיום כבן 83, גילה זאת בשנת 1972.

אתחיל בהסבר על משולש פסקל.

ניקח דף משובץ. הדף מכיל משבצות משבצות. בכדי לקבל את משולש פסקל  אנחנו צריכים לקבוע כללים מסוימים שיראו לנו כיצד המספרים מסודרים.

לכן נרשום את הכללים לקבלת הערכים המספריים בכל תא ותא:

הכלל הראשון – ערך התא הראשון הוא אחד.

הכלל השני – ערך כל תא (למעט הראשון) שווה לסכום שני התאים הנמצאים מעליו, האחד מימינו ולמעלה והשני משמאלו ולמעלה.

הכלל השלישי – תא ללא ערך מספרי יחשב כאפס.

לאחר שקבענו את הכללים נוכל להתחיל ברישום משולש פסקל:

במרכז השורה הראשונה נרשום 1.

בשורה השניה, התא השמאלי יהיה  1=0+1 ונרשום לכן 1

לתא הימני יהיה ערך  1=1+0 ונרשום 1

בשורה השלישית: התא הימני והתא השמאלי יתקבלו ערכים כמו קודם. התא האמצעי יהיה בערך:   2=1+1

221549241

 

 

השורה הרביעית, נעבור מצד שמאל לימין:

 

התא השמאלי יהיה 1=0+1 , אחריו  3=1+2 , אחריו 3=2+1 ואחרון בשורה השלישית: 1=1+0 .

 

וכן הלאה.

 

וכך מתקבל לו משולש פסקל:

 

221539881

ומה הקשר למגן דוד? אז אם לוקחים מספר מסוים, לדוגמא המספר 120, המצוי במרכזו של מגן הדוד, אזי  משולש המספרים הראשון: 165,36,210

ומשולש המספרים השני  330,45,84   יוצרים:      84*45*330=210*36*165

וזה נראה כך:

221539981 (1)

 

 

לשם הפשטות, נבחר את התא בעל ערך 6 שבשורה החמישית. שם מתקבל:   3*10*4=4*3*10  כלומר: 120=120

 

 

221574201

אחד המאמרים על התגלית של גולד.

 

שרטטתי משולש פסקל בעל מספר רב של שורות כדי לקבל את הדבר היפה הבא. אם נשחיר את התאים בעל הערך האי-זוגי, נקבל את:

221539961

 

 משולש שרפינסקי שהוזכר בפוסטים הקודמים.

 

מכאן שקיים קשר בין משולש שרפינסקי למשולש פסקל ולמגן דוד. אני קבלתי באמצעות התוכנה קשר ישיר בין מגן דוד למשולש שרפינסקי.

 

וזאת דרך השימוש באלגוריתם יחיד ובשימוש במשוואה בודדת. אלגוריתם הוא בעצם דרך, או שיטה לפתרון בעיה על ידי הליכה לפי שלבים. כאשר מצד אחד מוכנסים הנתונים (או בשמם – הקלט) אל האלגוריתם, ולאחר מספר צעדים מתקבלת התוצאה (או כפי שקוראים לזה  – הפלט). מתכון לעוגה הוא אלגוריתם שבו מוכנסים מוצרים (=קלט), שמתבצע עליהם תהליך (=אלגוריתם) ולבסוף מתקבלת התוצאה- העוגה.

 

ותוכנת המחשב בה השתמשתי קיבלה משוואה אחת כקלט, ובאלגוריתם בודד, כלומר רשימת צעדים אחת, היא חישבה את הערכים והוציאה פלט שהוא התמונה המתקבלת ומוצגת למטה בסוף הפוסט. חידוש הוא אם כן בדרך קבלת הפרקטל ממשולש שרפינסקי.

 

 

משולש פסקל מוכר כבר כאלפיים שנה, והמספרים הרשומים בו נותנים את המקדמים לנוסחה הקרויה הבינום של ניוטון. ואשר היא מוכרת בצורתה

 

האחת  עבור  n=2 :

 

     a+b)^2 = a^2+2ab+b^2)

וזוהי בעצם השורה השלישית של משולש פסקל. כפי שניתן לראות:

221540121

ואסיים שוב עם התמונה שקיבלתי אותה תיארתי כבר בפוסט  פרקטל מגן דוד:

 

221551381

 

 

אז בספר של פרופ' שפירא על האינסוף הפרק נקרא: "המשולש של פסקל, והמגן של דוד המלך", ועכשיו אפשר להוסיף גם את שרפינסקי לרשימה.

אודות David Gross

Inventor
פוסט זה פורסם בקטגוריה Uncategorized. אפשר להגיע ישירות לפוסט זה עם קישור ישיר.

24 תגובות על מה הקשר בין משולש פסקל, משולש שרפינסקי ומגן דוד?

  1. אריק הגיב:

    פנטסטי! יוצא מן הכלל!

  2. Intsi הגיב:

    תודה רבה. כל כך שמחתי לקבל את תגובתך.

  3. בני. הגיב:

    מהי בעצם המשמעות של הקשר שאתה מציג פה?
    אם משולש פסקל קשור למגן דוד, והוא קשור למשולש שרפינסקי – לעבר מה זה מקדם אותנו, למעשה?

    אגב, נניח שאנחנו כופרים באחת ההנחות במשולש פסקל ושמים את 0 כמספר הראשון – זה גם עובד. כי יהיה 0*0*0 = 0*0*0.
    ובדקתי את זה גם במקרה ש-2 הוא המספר הראשון וזה גם עובד לי במספרים הראשונים.
    אז אולי זה קשור לכל משפחת המשולשים, ולא מקרה יחודי של משולש פסקל?

    • Intsi הגיב:

      ראשית זה מלמד שמגני הדוד המתקבלים אינם רק בעלי משמעות וויזואלית, אלא מראים על קשר מתמטי הקיים בין מקדמי הבינום. כלומר בין כל שלשה מקדמים יש קשר לשלה מספרים אחרים. מה שגולד מצא זה שהמחלק המשותף הגדול ביותר של שתי השלשות שווה.
      עכשיו צריך לבחון את משמעותם בצבעים המתקבלים במשולש שרפינסקי. יש לזה קשר למה שהסברתי בפוסט קודם על ניו-יורק על האופן של קבלת הצבעים. זה דבר שצריך עוד לבדוק.
      כל מספר אחר שתתחיל לא תקבל את מקדמי הבינום. אם תשים מספר זוגי, גם לא תקבל את שרפינסקי. אבל מספר אי זוגי ראשון יתן את שרפינסקי (אבל לא את המקדמים כאמור).

  4. אמזונה הגיב:

    לא הבנתי כלום
    אבל זה נשמע מעניין..

    • Intsi הגיב:

      זה בגלל שלא הכנת שעורי בית 
      ניסיתי לכתוב את זה בצורה הכי מובנת, אם יש לך שאלות אשמח לענות.

      • אמזונה הגיב:

        איך תפסת אותי, אהה?

        זה כתוב בצורה מובנת ונגישה, אבל אני שואלת את עצמי מה זה יוסיף לי אם אדע יותר על הקשר בין המשולשים למגן דוד….?

      • Intsi הגיב:

         כתבת בבלוג שלך על מסע רגלי שעשית. אני קראתי ואף על פי שלא עשיתי את המסע פיזית, יכולתי להנות גם בזכות הדמיון המאפשר השתתפות לכאורה, גם בזכות זכרונות עבר מאחר שגרתי במשך שנים ארוכות בנגב ושירתתי באיזור המדובר, וגם כי למדתי דברים חדשים.  באותו אופן את משתתפת כאן במסע אותו אני עושה וניתן אני מקווה ללמוד מההתמודדות עם הקשיים, מחדוות הגילוי של עולמות חדשים, ומהעולמות עצמם.
        החשיבות בסיפור הזה הוא כמו שציינת, לא ההיבט של המצאות מגן דוד במשולש זה או אחר (שגם לכך יש חשיבות לא מבוטלת), אלא עצם הגילוי. ההבנה שגילוי הוא כמו אצל שאול שהלך לחפש אתונות ומצא מלוכה. שפתאום צצה תבנית שונה מהצפוי ומהי הדרך עד לבירור משמעותה האמיתי.
         

      • אמזונה הגיב:

        אתה אומר שזה אותו דבר, המסע שלי והמסע שלך
        ואני אומרת שזה לא בדיוק. לא בדיוק.
        אני הלכתי במקומות שונים בנגב. היכולת שלך להנות מהמסע שלי קשורה לכך שלך עצמך יש חוויות מהליכות דומות. כשאני מדברת על קושי – אתה מבין בדיוק למה אני מתכוונת כי חווית קושי דומה, גם אם זה במקום אחר.. הדמיון נשען על נסיון העבר ועל חוויות העבר, וזה מגביר את ההנאה מהקריאה (כך אני מקווה) עד כדי כך שאת היוכל לדמיין לעצמך את החויה הזו, אפילו אם לא השתתפת בה.

        הקריאה שלי אצלך, לעומת זאת, אפילו שזה כתוב ברור ובמושגים ברורים, מפגישה אותי עם עולם שאין לי קשר אליו (אל תקח את זה אישית). אז נכון שקראתי עד הסוף כי הכתיבה שלך מעניינת וקולחת, ויצרת אצלי עניין. אבל.. זה עניין לרגע. הוא לא נשען על שום ידע מוקדם (פרט להיכרות עם צורת המגן דוד) ולכן זה הקסים אותי לרגע ולא מעבר לכך..

        ולגבי שאול, אתה יודע שהוא לא היה מלך מוצלח. בסופו של דבר מי שנבחר למלך רק בגלל שהיה גבוה בראש מעל כולם ובגלל צבע שערו המיוחד – גם הוא הבין שהמלוכה קצת גדולה עליו…

      • Intsi הגיב:

        אוקיי, נחשפת לעולם לא מוכר. מקווה שבפוסטים הבאים, או הקודמים אם תקראי, העולם יהיה מוכר יותר.

      • אמזונה הגיב:

        גמני מקווה..
        מה שיביא אותי לקרוא זו הדרך שבה צדע למשוך אותי כקוראת
        שתכתוב מעניין

        אגב, למה אי אפשר להגיע לפוסטים קודמים שלך. זה מכוון?

      • Intsi הגיב:

        תודה רבה.
        לא, זה לא מכוון וכנראה שישנה אצלך איזו שהיא בעיה. כי אני מצליח גם ללא התחברות, להגיע אליהם בשני דפדפנים שונים.
        בכל אופן, הנה הקישור לפוסט הראשון:
         
        <a href=http://israblog.nana10.co.il/blogread.asp?blog=660611&year=2009&month=10http://israblog.nana10.co.il/blogread.asp?blog=660611&year=2009&month=10</p>

  5. הקפדתי לחזור, לעקוב ולהבין- עד שהגעתי למילים כמו אלגוריתם ובינום… (:
    הלוואי שיכולתי להבין את כל הדברים ולחוות לעומק את חוויית הגילוי שלך, אבל יודעת כמה מרוממת החוויה הזו! כן תרבינה! ואני אשתדל לעקוב אחריך, אולי בכל זתא אצליח בגילי המופלג להרחיב את אופקיי במתמטיקה…

    • Intsi הגיב:

      תודה רבה.
      על אלגוריתם הסברתי בעבר אבל אני צריך להיות מודע יותר שיש קוראים חדשים. הרבה פעמים אני מפנה לפוסטים קודמים כדי שיהיה יותר ברור. אוסיף הסבר או הפניה.

  6. טל עוז הגיב:

    זו ממש אומנות.
    וזה לגמרי נשגב מבינתי!

  7. sleepy הגיב:

    אח משולש פסקל. אני כבר יודעת איזה חצי ממנו בע"פ מרוב שאני משתמשת בו.

  8. מרתק לחלוטין.
    תודה שהחכמת אותי בנושא.

  9. דפנה הגיב:

    לאט לאט אני מתחילה להבין מה הולך פה. בסוף אבין

  10. הים ואני הגיב:

    ווה… ממש נפלא…תודה על שיתוף הידע… שומר את הפוסט לעיון שני..

להשאיר תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת גוגל

אתה מגיב באמצעות חשבון Google שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

מתחבר ל-%s